用数学思想提升学生数学思维

一、在教材解读中挖掘数学思想

数学教材中蕴含着两条主线, 一是知识技能, 一是思想方法。数学知识技能是教材中明摆着的, 而数学思想方法总是隐藏在知识的背面, 有经验的教师才能觉察并在课堂教学中有意识地加以渗透。因此, 教师要认真研读教材, 有意识地与文本对话、与编者对话、与情境对话、与数学家对话, 发现数学知识的本质, 挖掘新旧知识间的内在联系, 探寻数学学科规律, 生成教学策略;进而引导学生自主建构数学知识, 渗透数学思想方法, 激发他们的创造性思维;最终培养他们发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力, 提升数学素养。

【案例1】挖掘“圆的面积公式”推导新途径。

“圆的面积”教学是在学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算的基础上进行的。传统教材总是把一个圆若干等分后拼成一个与原来那个圆面积相等的近似长方形的图形, 然后让学生观察后发现拼成的“长方形”的长是原来的圆周长的一半, 宽是原来圆的半径, 进而推导出圆的面积公式。这种推导方法虽然也能渗透数学思想方法, 得出正确的结论, 却很难使拼成的图形成为一个规范的长方形, 如何寻找更加合理有效的教学方法呢?

大家都有这样的感觉, 当圆足够大且圆周上的曲线又足够短时, 这一小段弧几乎可以看作一条线段, 这时由这一小段弧和两条半径围成的图形就近似一个三角形了。这条弧就是这个“三角形”的底, 圆的半径就是这个“三角形”的高, 原来的圆可以分割成若干个这样的三角形, 这些三角形的高都等于圆的半径, 它们底的总和刚好等于圆的周长, 三角形面积之和就是原来那个圆的面积, 三角形的面积之和=底的和×高÷2=圆的周长×半径÷2=2πr÷2×r=πr²=圆的面积。

通过上述教学活动, 学生从已有的知识与经验出发, 运用转化和极限数学思想进行操作, 不知不觉中化新知识为旧知识, 发现圆的面积与三角形面积之间的联系, 很快推导出圆的面积公式, 体验学习的乐趣。

二、在知识形成中体验数学思想

富有生命力的知识是由学习者自我建构的, 就像苹果长在苹果树的枝头上一样, 新知识是根植于学生大脑的某一区域并且与原有的知识形成有机的链接。这种链接必须以学生原有的知识与生活经验为基础, 以基本数学思想方法作为智力支撑。

【案例2】“分数的产生”教学片段。

师:出示4个同样大的苹果, 取出其中的一半。

生₁取出2个。

师:再取出余下的一半。

生₂取出1个。

师:再取出余下的一半。

师:像这样不断地分下去, 苹果最终能分得完吗?利用苹果图片动手分一分。

生:在我们的想象中, 一个苹果一半一半地分可以无穷无尽地分下去的, 可是在实际分的过程中, 当分到很小的时候就很难再分下去了。

通过上述教学活动, 学生自觉地运用了分类、极限的数学思想进行操作, 发现当物体数量不足“1”时, 人们可以用一种新的数, 即分数来表示, 分数便应运而生了。

三、在问题解决中运用数学思想

问题是事物之间矛盾的反映, 而矛盾是推动事物发展的动力。教学中没有问题才是最大的问题。教学中教师应该怎样引导学生分析问题、解决问题呢?

【案例3】“解决植树中的数学问题”教学片段。

课件展示在长为1000米的公路一侧植树的现实问题情境。

教师出示例题:在1000米长的公路两旁, 每隔5米种一棵树 (首尾都要种) , 一共要种多少棵树?

学生自行解答后反馈:200棵, 400棵, 201棵, 402棵等。

师:到底多少棵呢?请说出你的道理。 (提示:平时我们遇到复杂的问题可以怎么办?)

生:可以从简单的问题入手找规律解决。

师:这是一种好办法。

课件分阶段展示植树情况:在5米的公路一旁种树, 每隔5米种一棵, 需要种2棵。在10米的公路一旁种树, 每隔5米种一棵, 需要种3棵。在15米的公路一旁种树, 每隔5米种一棵, 需要种4棵……

师:同学们有什么想说的呢?

生₁:这里面有规律。

生₂:把公路的长除以5再加1就是一边树的数量了。

生₃:路的长度除以两棵树之间的间隔长度加1就是种树的棵数。

师:这里为什么要加1呢?请在小组中交流一下。

生:路长除以树的间隔长等于间隔数, 因为起点就要种树, 等于0米就种了一棵, 所以要加1。

师:通过刚才的学习活动, 你们获得了什么经验?谁能有顺序且完整地说一说。

生:遇到复杂的问题我们可以从类似的简单问题入手, 通过有顺序的练习发现规律, 有了规律我们就能解决比较难的问题了。

师:说得好!现在请大家解决例题。 (板书:化繁为简倍数关系找规律)

数学思想为学生解决问题明确了方向, 数学方法为学生解决问题提供了途径, 数学活动为学生积累了学习经验, 探究的结论———新知识是在学生的探究过程中生成的。这样的学习让学生长知识、长智慧、育情感, 是一种快乐的学习。这样的问题解决活动, 凸显了数学建模的思想, 又让学生在探索中领悟到数学思想对于问题解决的重要性。

四、在练习巩固中整合数学思想

数学思想是数学的灵魂, 要让学生在经历中体验, 在体验中提升, 在提升中感悟。更要让学生意会、践行, 让数学思想成为开启他们社会生活的金钥匙。在数学课堂上, 每一次练习都是学生发展的生长点, 每一次对知识的体会都是学生成长的提升点。在数学知识的运用中, 在知识与能力的互动中, 学生的情感、态度、价值观得到不断提升。

【案例4】“角的认识”教学片段。

师:只要有一个顶点、两条边, 那这个图形就是角了。学到这, 你认识角了吗?

生:三角形上有角。

师:三角形上藏着角, 但不是只有三角形上才有角。

猜一猜:这个是角吗? (图1)

学生们一致认为背后藏着的图形是角。

教师切换展示图2。

学生对结果感到惊讶。

师:再来猜一猜! (出示图3)

师:背后藏着角吗?

课堂上非常安静, 学生都在思考着。

生₁:应该连起来。

师:如你所愿。

师:想一想, 什么情况下是角?什么情况下不是角?

生₁:两条线连起来的时候是角。

生₂:两条线没有连起来的时候不是角。

师:现在你们都是辨角高手了, 如果再玩这个游戏, 你有什么温馨提示?

生:不能太早下结论, 要全面考虑, 才会正确。

师:是啊!先全面思考, 然后再下结论。

上述教学片段可以看出, 为了让二年级的学生能够全面思考问题, 教师不是简单地说教, 而是通过独具匠心的练习, 对学生思维的固定模式施以强有力的冲击, 让他们既学习数学知识, 又增长智慧, 充分展示了数学课堂的独有魅力。